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Wer hat Spaß an kniffligen Problemen?



Problem des Monats Juni 2004 mit Lösung
Zwei Kreise in einem Rechteck
zwei Kreise im RechteckHerr Lehmann will aus einem Blatt DIN A4 (210 mm breit, 297 mm hoch) zwei möglichst große vollständige Kreise ausschneiden.

Welche Durchmesser dürfen die Kreise höchstens haben, wenn sie gleich groß sein sollen?

Lösung (gemeinsamer Teil)

  1. Das Problem ist punktsymmetrisch, d. h. wenn die Kreise beide gezeichnet sind, sieht das Blatt genauso aus, wenn man es so dreht, dass oben und unten vertauscht sind.
  2. Der Mittelpunkt des Blatts (Diagonalenschnittpunkt) gehört zu beiden Kreisen.
  3. Der Mittelpunkt eines Kreises, der zwei Ränder (Seiten) berührt liegt auf der Winkelhalbierenden dieser Seiten.

Lösung 1 (ohne die Kenntnis vom Satz des Pythagoras)

  1. Ein Kreis wird in eine Ecke (A) des Blatts gezeichnet. Dazu zeichnet man zuerst die Winkelhalbierende (w) und wählt den Radius so, dass die Kreislinie (k) zwei Seiten berührt. (Da wir später damit noch rechnen müssen, ist es zweckmäßig z. B. den  Radius 5 cm zu wählen. Das erreicht man, indem man zu einem Rand in  5 cm  Entfernung eine Parallele zeichnet und ihren Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden als Mittelpunkt nimmt.)
  2. Die Diagonale (e) des Blatts wird gezeichnet. Sie schneidet die Kreislinie an zwei Stellen. Die Entfernung von der ursprünglichen Ecke (A) bis zum Schnittpunkt (N), der weiter von ihr entfernt ist, wird von diesem Schnittpunkt aus auf der Diagonalen noch einmal abgetragen. Man erhält mit den Bezeichnungen der Zeichnung unten den Punkt C' auf der Diagonalen (AC' ist doppelt so lang wie AN.)
Kreis auf Blatt mit Hilfslinien
  1. Es wird ein neues Rechteck gezeichnet, dessen Diagonale AC' ist und dessen Seiten parallel zu den Seiten des Rechtecks ABCD (Blatt) sind. Dieses Rechteck erfüllt die Aufgabenstellung insofern, dass außer k noch ein genauso großer Kreis in das Rechteck AB'C'D' passt, ohne dass es Überschneidungen mit k gibt, aber kein größerer Kreis.
  2. Nun ist AB'C'D' kein DIN-A4-Blatt, aber die maßstäbliche Verkleinerung davon. Wenn wir den Maßstab kennen, können wir den gesuchten Durchmesser ausrechnen.
    Zu einem Kreis mit dem Radius 5 cm (d. h. Durchmesser 10 cm) gehört eine Seite AB', die 19,3 cm lang ist. Die längere Seite des Blatts ist 29,7 cm lang.
  3. Daraus ergibt sich der Maßstab m als 19,3:29,7 = 0,65 = 1 : 1,539.
  4. Jeder cm im Rechteck AB'C'D' steht für 1,539 cm im Rechteck ABCD.
  5. Die Kreise dürfen also höchstens 15,4 cm Durchmesser haben.

Lösung 2 mit Hilfe des Satzes des Pythagoras


  1. Ein Koordinatenkreuz wird so mit dem Blatt verbunden, dass zwei Blattkanten mit den Achsen übereinstimmen (Ursprung in der Blattecke A der Zeichnung, 1 cm für die Einheit).
  2. Der Kreismittelpunkt für den Kreis, der näher an dieser Ecke liegt, sei (x|x) (alle Punkte auf der Winkelhalbierenden haben zwei gleiche Koordinaten), (n1|n2) = (14,85|10,5) sei der Diagonalenschnittpunkt (die Koordinaten sind jeweils die halben Seitenlängen).
rechtwinkl. Dreieck im Kreis auf Blatt
  1. Nach dem Satz des Pythagoras (s. Zeichnung) ist
(x-n1)2+(x-n2)2 = x2
  1. Wird diese quadratische Gleichung aufgelöst, so erhält man die beiden Lösungen
    x1 = n1+ n2 - sqrt (2n1n2) und
    x2 = n1+ n2 + sqrt (2n1n2)
    ("sqrt" ist von "squareroot" abgeleitet und bezeichnet das Wurzelzeichen.)
  2. Hier steht die Lösung mit dem Minuszeichen vor der Wurzel für den gesuchten Radius, die Lösung mit dem Pluszeichen ist Radius des Riesenkreises, dessen erster Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden der Diagonalenschnittpunkt ist.
  3. Für x1 erhält man folgenden Wert:
    x1 = 14,85 + 10,5 - sqrt(2·14,85·10,5) = 7,69.
    (Der gesuchte Durchmesser ist doppelt so groß.)
  4. Die Kreise dürfen also höchstens 15,38 cm Durchmesser haben.
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