Drei Lote

Im gleichseitigen Dreieck ABC wird dreimal ein Lot gefällt:

1. Das Lot von C auf AB; sein Fußpunkt ist D.
2. Das Lot von D auf AC; sein Fußpunkt ist E.
3. Das Lot von E auf BC; sein Fußpunkt ist F.

EF schneidet CD in G.

Welche besonderen Eigenschaften hat Dreieck DEG?

Das Dreieck ABC ist in 5 Teile zerlegt worden; wie groß sind diese Teile, verglichen mit dem Flächeninhalt von Dreieck ABC?

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180° und jedes Lot trifft im rechten Winkel auf die Seite, auf die es gefällt wird. Damit lassen sich alle vorkommenden Winkel bestimmen.

Beispielhaft wird das einmal für das Teildreieck ADE ausgeführt. Der Winkel mit dem Scheitelpunkt A ist 60° groß. Begründung: im gleichseitigen Dreieck ABC sind alle Winkel gleich groß, da ihre Summe 180° beträgt, ist einer 60° groß.

Da das Lot im rechten Winkel in E auftrifft, bleibt nur ein Winkel von 30° für die Ecke D im Dreieck ADE.

Da das Lot von C auf die Gerade durch A und B im rechten Winkel in C auftrifft, bleiben ebenfalls nur 60° für den Winkel mit Scheitelpunkt D im grauen Dreieck.

Der Winkel mit Scheitelpunkt E im rechtwinkligen Dreieck EFC ist dann ebenfalls 30° groß und damit ist der Winkel im grauen Dreieck mit dem Scheitelpunkt E 60° groß. Für den verbleibenden Winkel im grauen Dreieck bleiben dann ebenfalls 60° übrig.

Das Dreieck DEG ist gleichseitig, da es drei gleiche Winkel hat.

Bei der obigen Figur wurden noch zwei Lote dazugezeichnet. Ihre jeweiligen Fußpunkte heißen H und I.

Das Dreieck EGC weist zwei Winkel zu 30° auf und ist damit gleichschenklig. Da Dreieck EDG gleichseitig ist, erhält man daraus, dass G die Höhe h_c halbiert. Die Strecke DH ist dann ein Viertel der ursprünglichen Höhe, die Höhe im Dreieck ADE hat die gleiche Länge. Die Strecke AD ist halbsolang wie die Strecke AB, deren Länge ich c nenne. Ich bezeichne die Flächeninhalte von Dreiecken, indem ich an A die Ecken als Indizes anhänge, z. B. ist dann A_ABC der Flächeninhalt des ursprünglichen gleichseitigen Dreiecks.

A_ADE = ½ ⋅ ½ c ⋅ ¼ h_c = 1/8 ⋅ ½ ch_c = 1/8 A_ABC

Die Dreiecke EDH, EHG, EGI, GCI und GFC sind alle zueinander kongruent, weil sie zwei gleiche Winkel enthalten (90° und 30°) und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, als Länge immer die Hälfte von h_c hat.

Damit haben die Dreiecke EDG und EGC den gleichen Flächeninhalt. Es gilt

A_ADE + A_EDG + A_EGC = ½ A_ABC

1/8 A_ABC + 2 A_EDG = ½ A_ABC

2 A_EDG =  3/8 A_ABC

A_EDG =  3/16 A_ABC

Da sich das Dreieck EDG aus zwei Dreiecken zusammensetzt, die zum Dreieck GFC kongruent sind, gilt:

A_GFC = ½  A_EDG = 3/32 A_ABC

Als letztes bleibt das Viereck DBFG übrig, das durch das Dreieck GFC zum halben Dreieck ABC ergänzt wird. Damit  ist der Flächeninhalt des Vierecks DBFG 13/32 der Fläche des Dreiecks ABC.

Noch einmal die Anteile der fünf Teilflächen am gesamten Dreieck ABC in Worten:
Das Dreieck ADE hat ein Achtel, die Dreieck EDG und EGC jeweils drei Sechzehntel, das Dreieck GFC drei Zweiunddreißigstel und das Viereck DBFG dreizehn Zweiunddreißigstel der Fläche des Dreiecks ABC.