Lauter Stammbrüche

lässt sich auf verschiedene Weisen als Summe von drei Stammbrüchen schreiben, z. B. 
= +  + oder
= + + .

Gibt es noch mehr Möglichkeiten?

Nun soll die Summe von drei Stammbrüchen kleiner als  sein, aber möglichst nahe an herankommen.

Finde die beste Möglichkeit.

Die Ägypter kannten schon die Bruchrechnung, aber sie arbeiteten fast nur mit Stammbrüchen.

Zur Lösung

Weitere Darstellungen von  als Summe von drei Stammbrüchen sind z. B.    und   = + + .

Wie findet man alle Darstellungen dieser Art?

Wir machen den Ansatz  =  +  + , wobei a, b, c natürliche Zahlen sind. Wir vereinbaren, dass a ≤ b ≤ c, d. h.  ≥ ≥ gelten soll.

Da jeder der Stammbrüche , und kleiner als  sein muss, muss a ≥ 3 gelten. Andererseits gilt a ≤ 6, denn für a ≥ 7 würde sich
+  +   ≤  +  +  =   <  ergeben.

Es genügt also, die Fälle a = 3, 4, 5 oder 6 zu betrachten.

a = 3 : Aus   = + + folgt   = + .
Auflösen z. B. nach c liefert:
c = 
Wir setzen ein (b ≥ 7) und erhalten folgende Tabelle:

Für b = 11 ergibt sich kein ganzzahliger Wert von c. Für Werte b > 12 ergeben sich c-Werte, die kleiner als 12 sind, z. B. b = 15, c = 10 usw. Diese Wertepaare (b,c) sind spiegelbildlich zu den in der Tabelle aufgeführten, führen also nicht zu weiteren Darstellungen. Wegen der Vereinbarung b ≤ c sind daher die Wertepaare (b,c) für b > c nicht aufgeführt.

a = 4:  Aus  = + + erhält man c = .

Wir setzen ein (b ≥ 5) und erhalten folgende Tabelle:

a = 5:  Aus  =  + + erhält man c = .

a = 6:  Aus  =  + + erhält man c = 

.

Damit haben wir alle Darstellungen von  als Summe von drei Stammbrüchen gefunden.

Hier sind noch einmal alle Möglichkeiten im Überblick:

= 

= 

=

=

=  +  + 

= +  +

= 

= 

= + + .

Wir wenden uns nun der Frage zu, welche Summe von drei Stammbrüchen den größten Wert < hat. Ersetzt man in einer der oben aufgeführten Summen irgendeinen der Stammbrüche durch einen kleineren (d. h. durch einen Stammbruch mit größerem Nenner), so erhält man eine Summe von drei Stammbrüchen, die kleiner als sind.

Welches ist nun die kleinstmögliche Verkleinerung?

Dazu stellen wir die folgende Überlegung an:
Die Differenz zweier „benachbarter“ Stammbrüche ist umso kleiner, je größer die Nenner der Stammbrüche sind. Es gilt z. B.
– =   = , aber   –   = = .

Von allen Summen von drei Stammbrüchen, die darstellen, enthält nun die Summe den Stammbruch mit dem größten Nenner, nämlich . Ersetzt man diesen durch den nächstkleineren Stammbruch, also , so erhält man die kleinsmögliche Verkleinerung aller oben aufgeführten Summen von drei Stammbrüchen.

Haben wir damit schon den größten Wert  < gefunden, der sich als Summe von drei Stammbrüchen darstellen lässt?

Nun, es könnte sein, dass es eine andere – bisher noch nicht betrachtete – Summe +  +  von drei Stammbrüchen gibt, die zwar kleiner als , aber größer als  + + ist. Hierfür kommen nur die bisher „ausgelassenen“ Fälle in Betracht. Für a = 3 bleibt nur der Fall b = 11 zu untersuchen. Wir müssen ein c suchen, so dass +  + < ist. Das kleinste c, für das dies gilt, ist  c = 14. Es gilt   +  + = 0,49567...

Für a = 4 bleibt nur der Fall   + + = 0,49285...

Für a = 5 bleiben nur die Fälle + + = 0,49166... und + + = 0,48571...

Dagegen ist   + + = 0,49944...

Daraus folgt:

Die Summe + + ist von allen Summen von drei Stammbrüchen, die kleiner als sind, diejenige, die am nächsten kommt.

Übrigens: Nimmt man die Nenner als Eckenzahl von regelmäßigen n-Ecken, so ist die Summe der Innenwinkel 360°, wenn die Summe der Stammbrüche ein Halb ist (bei drei n-Ecken).